13. Κλασματικές εξισώσεις

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

20 Μάιος 2026

Τροποποιημένο

30 Μάιος 2026

1 Κλασματικές εξισώσεις

1.1 Θεωρία

Οι κλασματικές ή ρητές εξισώσεις είναι οι εξισώσεις οι οποίες περιέχουν τουλάχιστον έναν άγνωστο στον παρονομαστή ενός κλάσματος. Για την επίλυσή τους απαιτείται μια συγκεκριμένη διαδικασία ώστε να μετατραπούν σε απλούστερες μορφές (ακέραιες εξισώσεις).

1.2 Διαδικασία Επίλυσης

Η επίλυση μιας κλασματικής εξίσωσης περιλαμβάνει τα εξής στάδια:

  1. Προσδιορισμός Περιορισμών (Πεδίο Ορισμού): Επειδή ένα κλάσμα έχει νόημα μόνο όταν ο παρονομαστής του είναι διάφορος του μηδενός, πρέπει να βρεθούν οι τιμές του αγνώστου που μηδενίζουν τους παρονομαστές και να εξαιρεθούν από τις πιθανές λύσεις.
  2. Εύρεση Ε.Κ.Π.: Αναλύουμε τους παρονομαστές σε γινόμενα παραγόντων και βρίσκουμε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) όλων των παρονομαστών.
  3. Απαλοιφή Παρονομαστών: Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π.. Με τον τρόπο αυτό η εξίσωση μετατρέπεται σε ακέραιη (πολυωνυμική).
  4. Επίλυση Ακέραιας Εξίσωσης: Λύνουμε την ακέραιη εξίσωση που προέκυψε με τις γνωστές μεθόδους (π.χ. χωρισμός γνωστών από αγνώστους για πρωτοβάθμιες ή παραγοντοποίηση για ανώτερου βαθμού).
  5. Έλεγχος Λύσεων: Εξετάζουμε αν οι λύσεις που βρήκαμε ικανοποιούν τους αρχικούς περιορισμούς. Αν μια λύση μηδενίζει έστω και έναν παρονομαστή της αρχικής εξίσωσης, απορρίπτεται.

1.3 Παραδείγματα διαφόρων περιπτώσεων

1.3.1 1. Περίπτωση με απορριπτόμενη λύση


Έστω η εξίσωση:


Περιορισμοί: Πρέπει \(x(x-2) \neq 0\), δηλαδή \(x \neq 0\) και \(x \neq 2\)

Επίλυση: Πολλαπλασιάζουμε με το Ε.Κ.Π. \(x(x-2)\)





και προκύπτει η ακέραιη εξίσωση

η οποία καταλήγει στην

Λύσεις: Προκύπτουν οι τιμές:

Η τιμή \(x=2\) απορρίπτεται λόγω του περιορισμού, οπότε η μοναδική δεκτή ρίζα είναι η \(x=-2\).



\(\dfrac{x-2}{x} + \dfrac{4}{x-2} - \dfrac{8}{x^2-2x} = 0\)



\(\require{cancel}\cancel{x}(x-2)\dfrac{x-2}{\cancel{x}} + x \cancel{(x-2)}\dfrac{4}{\cancel{x-2}} -\)

\(\cancel{x}\cancel{(x-2)}\dfrac{8}{\cancel{x} \cancel{(x-2)}} = 0\)



\((x-2)^2 + 4x - 8 = 0\)

\((x-2)(x+2) = 0\)

\(x=2\) και \(x=-2\)

1.3.2 2. Περίπτωση αδύνατης εξίσωσης

Για την εξίσωση

Ε.Κ.Π.=\((x-3)(x+2)\)
οι περιορισμοί είναι \(x \neq 3\) και \(x \neq -2\).



Μετά την απαλοιφή των παρονομαστών, η εξίσωση καταλήγει στην

Επειδή όμως η τιμή αυτή εξαιρείται από τους περιορισμούς, η εξίσωση είναι αδύνατη.

\(\dfrac{2x-3}{x-3}-\dfrac{2(x+1)}{x+2}=\dfrac{15}{x^2-x-6}\)



\(\cancel{(x-3)}(x+2)\dfrac{2x-3}{\cancel{x-3}}-(x-3)\cancel{(x+2)}\dfrac{2(x+1)}{\cancel{x+2}}=\)

\(\cancel{(x-3)}\cancel{(x+2)}\dfrac{15}{\cancel{(x-3)}\cancel{(x+2)}}\)


\(5x = 15\),
άρα \(x = 3\)

1.3.3 3. Χρήση βοηθητικού αγνώστου (Αντικατάσταση)

Ορισμένες κλασματικές εξισώσεις λύνονται ευκολότερα αν θέσουμε μια ολόκληρη παράσταση ως νέο άγνωστο.

* Παράδειγμα:

\((\dfrac{x-3}{x+3})^2 - 7(\dfrac{x-3}{x+3}) + 12 = 0\).

* Θέτουμε \(\psi = \dfrac{x-3}{x+3}\) και η εξίσωση γίνεται \(\psi^2 - 7\psi + 12 = 0\), η οποία δίνει λύσεις \(\psi_1 = 4\) και \(\psi_2 = 3\).

Στη συνέχεια λύνουμε τις απλές κλασματικές εξισώσεις \(\dfrac{x-3}{x+3} = 4\) και \(\dfrac{x-3}{x+3} = 3\) για να βρούμε το \(x\).

Περιορισμός \(x\ne-3\)

Ετσι θα έχουμε:

  • \(\dfrac{x-3}{x+3} = 4\) ή \(x-3=4(x+3)\) ή \(x-3=4x+12\) ή \(3x=-15\) ή \(x=-5\)
  • \(\dfrac{x-3}{x+3} = 3\) ή \(x-3=3(x+3)\) ή \(x-3=3x+9\) ή \(2x=-12\) ή \(x=-6\)

1.3.4 4. Παραμετρικές κλασματικές εξισώσεις

Σε αυτές τις περιπτώσεις, η λύση εξαρτάται από τις τιμές κάποιων παραμέτρων (π.χ. \(\lambda, \mu\)).

  • Παράδειγμα:

\(\dfrac{\lambda x - 1}{x-1} + \dfrac{\mu}{x+1} = \dfrac{\lambda(x^2+1)}{x^2-1}\).

* Η εξίσωση καταλήγει στη μορφή \((\lambda + \mu - 1)x = \lambda + \mu + 1\).

* Αν \(\lambda + \mu \neq 1\), η λύση είναι \(x = \dfrac{\lambda + \mu + 1}{\lambda + \mu - 1}\), με την προϋπόθεση ότι η τιμή αυτή δεν είναι \(1\) ή \(-1\).

* Αν \(\lambda + \mu = 1\), η εξίσωση καταλήγει στην \(0x = 2\) και είναι αδύνατη.

1.3.5 5. Περίπτωση αόριστης εξίσωσης (Ταυτότητα)

Η εξίσωση \(\dfrac{x}{x-1} + \dfrac{2}{x-2} = \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{x}{x-2}\) με περιορισμούς \(x \neq 1, 2\), μετά τις πράξεις καταλήγει στην \(0x = 0\). Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση είναι αόριστη και αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό \(x\) εκτός από το \(1\) και το \(2\).

1.4 Ασκήσεις και προβλήματα

Ασκήσεις Κλασματικών Εξισώσεων Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις.

  1. \(\dfrac{2x}{x+2} + \dfrac{x+2}{2x} = 2\)
  2. \(\dfrac{x-1}{x} - \dfrac{x}{x-2} + \dfrac{1}{x^{2}-2x} = 0\)
  3. \(\dfrac{2x-3}{x} + \dfrac{5x-3}{x^{2}} = \dfrac{2x^{2}+x-6}{x^{3}} + 2\)
  4. \(\dfrac{1}{x-2} - \dfrac{2}{x+1} = \dfrac{3}{x^{2}-x-2}\)
  5. \(1 - \dfrac{1}{x+2} - \dfrac{1}{2-x} = \dfrac{2x}{x^{2}-4}\)
  6. \(\dfrac{12}{3x-2} - \dfrac{8}{3x+2} = \dfrac{2-33x}{4-9x^{2}}\)
  7. \(\dfrac{3x-2}{x+1} = \dfrac{6x-1}{2x+3}\)
  8. \(\dfrac{2}{x+5} - \dfrac{1}{x+2} = \dfrac{x-3}{(x+5)(x+2)}\)
  9. \(\dfrac{13}{x+1} - \dfrac{1}{1-x} = \dfrac{5x-3}{x^{2}-1}\)
  10. \(\dfrac{4}{y+2} + \dfrac{1}{y-2} = \dfrac{y}{y^{2}-4}\)
  11. \(\dfrac{2}{w(w+2)} = \dfrac{-1}{w^{2}+5w+6}\)
  12. \(\dfrac{1}{x^{2}+4x+4} = \dfrac{2}{x+2}\)
  13. \(\dfrac{y+\alpha}{y+\beta} = \dfrac{y-2\alpha}{y+3\beta}\) (με \(\alpha, \beta\) σταθερές)
  14. \(\dfrac{\alpha+2\beta}{w+3} = \dfrac{\alpha+6}{w} - \dfrac{10}{w^{2}+3w}\) (με \(\alpha, \beta\) σταθερές)
  15. \(\dfrac{1}{y-\alpha} - \dfrac{1}{y-\beta} = \dfrac{\alpha-\beta}{y^{2}-\alpha\beta}\) (με \(\alpha, \beta\) σταθερές)
  16. \(\dfrac{5x}{x^{2}-16} + \dfrac{2}{x-4} + \dfrac{3}{x+4} = 0\)
  17. \(\dfrac{1}{x+2} + \dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{x^{2}+2x} = \dfrac{2x-1}{x(x+2)}\)
  18. \(\dfrac{5}{x+3} - \dfrac{2x+1}{x^{2}+5x+6} = \dfrac{1}{x+2}\)
  19. \(\dfrac{y-3}{y-5} + \dfrac{y-9}{y-11} = \dfrac{y-7}{y-9} + \dfrac{y-5}{y-7}\)
  20. \(\dfrac{x-3}{x-1} + \dfrac{x-1}{x-3} = \dfrac{25}{12}\)

Προβλήματα με Κλασματικές Εξισώσεις Να λύσετε τα παρακάτω προβλήματα.

  1. Πρόβλημα Κλάσματος: Ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι κατά 7 μικρότερος από τον παρονομαστή του. Αν και στους δύο όρους του κλάσματος προστεθεί ο αριθμός 13, προκύπτει κλάσμα ίσο με \(2/3\). Να βρεθεί το αρχικό κλάσμα.
  2. Εύρεση Αριθμού: Να βρεθεί ένας αριθμός τέτοιος ώστε, αν από το 21 αφαιρέσουμε τα \(2/5\) αυτού του αριθμού, να προκύψει ως διαφορά το μισό του ίδιου αριθμού.
  3. Πρόβλημα Ηλικιών: Ένα παιδί έχει ηλικία κατά 30 έτη μικρότερη από την ηλικία του πατέρα του. Υπολογίστε τις ηλικίες τους αν ο λόγος τους είναι \(2/5\).
  4. Γεωμετρικό Πρόβλημα: Ένα τραπέζιο έχει ύψος \(48 mm\) και εμβαδό \(3200 mm^{2}\). Να βρεθούν οι δύο βάσεις του \(x\) και \(y\), αν γνωρίζουμε ότι έχουν λόγο \(2:3\).

Από το \(\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3} \Rightarrow x=\dfrac{2y}{3}\), αντικαταστήστε στην αρχική και …………………

  1. Επιμερισμός Κόστους: Σε μια εκδρομή οι άνδρες πλήρωσαν συνολικά 1800 € και οι γυναίκες 800 €. Οι γυναίκες ήταν κατά 5 λιγότερες από τους άνδρες και κάθε άνδρας πλήρωσε 40 €. περισσότερες από κάθε γυναίκα. Πόσοι ήταν οι άνδρες και πόσες οι γυναίκες;

Αν x οι άνδρες ==> x-5 οι γυναίκες, επομένως \(\overset{\text{χρήματα που πλήρωσε κάθε άνδρας}}{\overparen{\dfrac{1800}{x}}}-\overset{\text{χρήματα που πλήρωσε κάθε γυναίκα}}{\overparen{\dfrac{800}{x-5}}}=\overset{\text{Διαφορά χρημάτων ανδρών - γυναικών}}{\overparen{40}}\) …………………………

  1. Δύο ομάδες μαθητών Μια ομάδα μαθητών συγκέντρωσε 900 € και μια άλλη 600 €. Η δεύτερη ομάδα είχε 5 μαθητές λιγότερους από την πρώτη. Αν κάθε μαθητής της πρώτης ομάδας συνεισέφερε 10 € λιγότερα από κάθε μαθητή της δεύτερης, πόσοι μαθητές είχε κάθε ομάδα;

  2. Εργασία Ένας εργάτης μπορεί να ολοκληρώσει μια εργασία μόνος του σε (x) ημέρες. Ένας δεύτερος εργάτης χρειάζεται 6 ημέρες περισσότερες. Αν μαζί ολοκληρώνουν την εργασία σε 5 ημέρες, σε πόσες ημέρες ολοκληρώνει την εργασία ο καθένας μόνος του;

Σημείωση: Δεν βγαίνουν ημέρες ακριβώς!

  1. Βρύσες Μια βρύση γεμίζει μια δεξαμενή σε (x) ώρες και μια δεύτερη σε (x+4) ώρες. Αν λειτουργήσουν μαζί, γεμίζουν τη δεξαμενή σε 3 ώρες. Να βρεθεί ο χρόνος που χρειάζεται καθεμία χωριστά.

  2. Ταχύτητα αυτοκινήτου Ένα αυτοκίνητο διανύει απόσταση 240 km με ταχύτητα (x) km/h. Αν αύξανε την ταχύτητά του κατά 20 km/h, θα χρειαζόταν 2 ώρες λιγότερο. Να βρεθεί η αρχική ταχύτητα.

Μια ιδέα: Βασιστείτε στην διαφορά των χρόνων \(\dfrac{240}{x+20}-\dfrac{240}{x}\) ……………………..

  1. Αγορά εισιτηρίων Για μια θεατρική παράσταση εισπράχθηκαν συνολικά 1800 €. Αν το εισιτήριο κόστιζε (x) €, πουλήθηκαν \(\dfrac{1800}{x}\) εισιτήρια. Αν η τιμή ήταν 3 € μικρότερη, θα πωλούνταν 30 εισιτήρια περισσότερα για το ίδιο συνολικό ποσό. Να βρεθεί η τιμή του εισιτηρίου.

Σκεφτείτε ανάλογα με την προηγούμενη

  1. Μοίρασμα χρημάτων Ένα ποσό 1440 € μοιράστηκε εξίσου σε μια ομάδα ατόμων. Αν υπήρχαν 4 άτομα λιγότερα, τότε ο καθένας θα έπαιρνε 24 € περισσότερα. Πόσα ήταν τα άτομα;

  2. Παραγωγή εργοστασίου Ένα εργοστάσιο πρέπει να κατασκευάσει 3600 τεμάχια. Αν παράγει (x) τεμάχια την ημέρα, θα ολοκληρώσει την παραγωγή σε \(\dfrac{3600}{x}\) ημέρες. Αν αύξανε την ημερήσια παραγωγή κατά 60 τεμάχια, θα τελείωνε 3 ημέρες νωρίτερα. Να βρεθεί η αρχική ημερήσια παραγωγή.

  3. Βιβλία σε μαθητές Ένας αριθμός βιβλίων μοιράζεται εξίσου σε μια τάξη. Αν οι μαθητές είναι (x), τότε κάθε μαθητής παίρνει \(\dfrac{480}{x}\) βιβλία. Αν η τάξη είχε 4 μαθητές λιγότερους, κάθε μαθητής θα έπαιρνε 2 βιβλία περισσότερα. Πόσοι είναι οι μαθητές;

  4. Δανειστική βιβλιοθήκη Μια βιβλιοθήκη αγόρασε έναν αριθμό βιβλίων αξίας 1500 €. Αν η τιμή κάθε βιβλίου ήταν (x) €, αγοράστηκαν \(\dfrac{1500}{x}\) βιβλία. Αν η τιμή κάθε βιβλίου ήταν 5 € μικρότερη, θα μπορούσαν να αγοραστούν 10 βιβλία περισσότερα με το ίδιο ποσό. Πόσα κόστιζε κάθε βιβλίο;

δείγμα για διάγραμμα TikZ:

\[\bbox[yellow, 5px]{\color{blue}\Large\text{---}}\]

ΣυμβουλήΕνέργεια
Συμβουλή

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!